数组 ADT

• n 维数组
  • 类型相同的数据元素
  • \(n\) 维下标
    • 创建之后维数不再改变
    • 第 \(i\) 维的长度 \(b_i\)
    • 元素个数 \(b_1 \times b_2 \times \cdots \times b_n\)
  • \(n\) 个线性关系

• 基本操作
  • 初始化
  • 销毁
  • 存取元素
  • 修改元素值

数组的顺序存储

• 多维数组映射到一维存储空间
• 次序约定
  • 低下标优先
  • 高下标优先

• 低下标优先
  • 优先按低维下标的大小安排存储空间
  • 二维数组：
    • 以行序为主序
    • 如 C/C++ 等大多数语言
• 高下标优先
  • 优先按高维下标的大小安排存储空间
  • 二维数组：
    • 以列序为主序
    • 如 Fortran

• 数组的顺序存储的特点：
  • 随机存取
  • 存取数组中任一元素时间相等

特殊矩阵

• 对称矩阵： \(a_{ij} = a_{ji}, \quad 1 \le i,j \le n\)
  • 下三角部分 a[i,j] 映射到 sa[k]
  • \(k \ge 0\) 和 \(1 \le i,j \le n\) 满足以下关系：

\[k = \begin{cases} \dfrac{ i (i-1) }{ 2 } + j-1, & i \ge j, \\ \dfrac{ j (j-1) }{ 2 } + i-1, & i<j. \end{cases}\]

• 三角矩阵
  • 与对称矩阵类似
• 下三角矩阵 a[i,j] 映射到 sa[k]，满足

\[k = \begin{cases} \dfrac{ i (i-1) }{ 2 } + j-1, & i \ge j, \\ 0, & i<j. \end{cases}\]

• 上三角矩阵 a[i,j] 映射到 sa[k]，满足

\[k = \begin{cases} 0, & i < j, \\ \dfrac{ j (j-1) }{ 2 } + i-1, & i\le j. \end{cases}\]

• 对角矩阵
  • 非零元集中在主对角线为中心的带状区域
  • 也可以压缩存储到一维数组上

稀疏矩阵

稀疏因子与稀疏矩阵

在 \(m \times n\)的矩阵中有 \(t\) 个元素不为零，定义稀疏因子 \(\delta\)

\[\delta = \frac{t}{m \times n}\]

通常认为 \(\delta \le 0.05\) 时称为稀疏矩阵

• 稀疏矩阵的压缩存储：只存储非零元
  • （1）三元组顺序表
  • （2）行逻辑链接的顺序表
  • （3）十字链表

三元组顺序表

三元组

矩阵中一个元素的位置和值 (i,j,e)

三元组顺序表

以行序为主序

先按 i 排序，再按 j 排序

• 三元组顺序表的类型定义

/// 三元组
struct Triple {
  int i,j;  // 非零元的位置
  E e;      // 元素的值
};

/// 三元组顺序表
struct TSMatrix {
  Triple data[MAXSIZE];
  int mu, nu, tu;  // 矩阵行数、列数和非零元数
}

• 算法：矩阵转置

• 思路：
  • 先算出每一列中非零元的个数
  • 再计算每一列中第一个非零元的位置
  • 逐个元素转置

• 时间复杂度：\(O(nu+tu)\)

行逻辑链接的顺序表

• 行逻辑链接的顺序表
  • 存储各行第一个非零元的位置
  • 算法：矩阵乘法

十字链表

• 结点结构：( i, j, e, right, down )
• 非零元素组成行表和列表
• 算法：创建十字链表

广义表的定义

• 广义表：\(L=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_n)\)，线性表的推广
• ADT 定义
  • 数据对象：数据元素可以是原子或广义表
  • 数据关系：线性关系
  • 基本操作

长度

表中元素个数

空表 ( )

长度为零的表

与 (( )) 不同

表头 Head(L)

表中的第一个元素

可能是原子，也可能是列表

表尾 Tail(L)

除第一个之外的其余元素组成的表

一定是列表

特点

列表的元素可以是子表

列表可以为其他列表共享

列表可是是一个递归表

广义表的存储结构

• 通常采用链式存储结构
• 结点结构：
  • 表结点（tag=1, hp, tp）
  • 原子结点（tag=0, atom）

/// 广义表结点
struct GLNode {
  int tag;  // ATOM=0 原子， LIST=1 子表
  union {
    E atom;  // 原子结点的值
    struct {
      GLNode *hp, *tp; // 表头指针和表尾指针
    } ptr;   // 表结点的指针
  };
};

/// 广义表
typedef GLNode *GList;

广义表的递归算法

• 广义表具有递归结构
• 便于采用递归算法
  • 空表和原子通常作为递归停止条件
  • 对子表递归
• 算法：求广义表的深度（括号嵌套的最大重数）
• 算法：复制广义表
• 算法：建立广义表

习题

• 5.1 二维数组 A[10..20, 5..10] 采用以行为主的方法存储,每个元素占 4 个存储单元,并且 A[10, 5] 的存储地址是 1000,则 A[18, 9]的地址为____。
• 5.2 n 阶对称矩阵中的元素 a[i,j] 压缩存储到一维数组 sa[k]，以行序为主序存储其下三角中的元，写出 k 与 i 和 j 的对应关系。
• 5.3 广义表 L = ((a,b),(c,d))，则 GetHead(L)=____，GetTail(L)=____，GetTail(GetHead(L))=____，GetTail(GetHead(GetTail(L)))=____。
• 5.4 广义表 L = ((()),a,((b,c),(),d),(((e)))) 的深度为 ____。